prueba

---

---

Nome:		Matrícula:

 
Observação: Toda resposta deve ser justificada!!
Escolha somente 4 perguntas as outras não serão corrigidas. Marque aqui:

1	2	3	4	5	6

1. Seja f : X ⊂ ℝⁿ → ℝ limitada. Para x ∈ X e cada δ > 0 considere Ω(δ) = ω(f;X ∩ (B(x,δ))) = a oscilação de f no conjunto X ∩ (B(x,δ)). Mostre que
   1. Ω(δ) ≥ 0.
   2. A função Ω : (0,+∞) → ℝ é limitada.
   3. Ω é não decrescente. Portanto existe o limite
2. Mostre que ω(f;x) = lim_δ→0Ω(δ) a oscilação de f em x é zero se e somente se f é continua.
3. Seja f : A₁ × A₂ → ℝ integrável no produto dos blocos A₁ ⊂ ℝ^m e A ₂ ⊂ ℝⁿ. Para todo x ∈ A ₁, seja f_x : A₂ → ℝ definida por f_x(y) = f(x,y). Mostre que φ : A₁ → ℝ dado por φ(x) = ∫ _{_A2}f_x(y)dy é integrável.
4. Uma decomposição pontilhada do conjunto J-mensurável X ⊂ ℝⁿ é um par D^* = (D,ξ), onde D = (X ₁,…,X_k) é uma decomposição de X e ξ = (ξ₁,…,ξ_k), com ξ_i ∈ X_i,∀i = 1,…,k. A toda partição pontilhada D^* fica associada a soma de Riemann Σ(f;D^*), definida por Mostre que, se f : X → ℝ é integrável no conjunto J-mensurável X ⊂ ℝⁿ então
5. Mostre que vale o Teorema de Mudança de Variáveis se f : X → ℝ é limitada com X ⊂ ℝⁿ J-mensurável e h : ℝⁿ → ℝⁿ do Tipo 1. Isto é
6. Mostre que vale o Teorema de Mudança de Variáveis se f : X → ℝ é limitada com X ⊂ U ⊂ ℝⁿ um bloco n-dimensional e h : U → V do Tipo 2. Isto é